3.6 扭转超静定问题

同第 2 章的拉压问题一样，当扭转问题的未知力数目多于独立平衡方程数时，即为超静定问题。其求解可采用力法或位移法，并需要同时考虑：静力平衡关系、变形几何关系和内力-变形关系。其中，根据变形几何关系正确地写出变形协调方程是求解问题的关键。下面通过例题说明其解法。

两端固定的圆截面杆AB，在截面C处受一扭转力偶M e作用，如图例题3-10（a）所示，已知杆的扭转刚度为GIP，试求两杆端的约束反力偶矩。

分析：有两个未知的约束反力偶矩，而平衡方程只有一个∑Mx=0，故属于一次超静定问题。设想固定端B为多余约束，解除后加上相应的未知多余约束力偶矩MB，得如图例题3-10（b）所示的受扭静定杆（称为基本静定系）。因为原超静定杆两端为固定约束，所以基本静定系在外力偶矩和多余约束力偶矩作用下B端的扭转角应等于零。由此，建立变形协调方程。

解：由外力偶矩Me引起的B端扭转角ϕBM与多余约束力偶矩MB引起的B端扭转角ϕBB的大小相等，得变形协调方程为

由式（3-20）得M e和MB引起的扭转角分别为

将式（b）代入式（a）中，得多余约束力偶矩为

由平衡方程不难求得固定端A的约束反力偶矩，大小为Meb/l。

讨论：本例题给出了一个利用力法求解超静定问题更一般的步骤：

（1） 去掉多余约束，代之以未知的多余约束力，得到一个基本静定系，注意该系统必须是一个能承受外力的结构，其上作用的力有原来的外力和未知的多余约束力；

（2） 根据原超静定结构的约束情况建立变形协调方程，其数目与解除的多余约束个数相同；

（3） 根据内力-变形关系求得基本静定系上每个力（包括外力和未知多余约束力）作用下的变形，代入变形协调方程，求得多余约束力；

（4） 由静力学平衡方程求得其他约束力。

如例题图3-11（a）所示，直径为d = 25 mm的钢轴上焊有两圆盘凸台，凸台上套有外直径D=75 mm、壁厚δ=1.25 mm的薄壁管，当杆承受外加扭转力偶矩Me=73.6 N·m时，将薄壁管与凸台焊在一起，然后再卸去外加扭转力偶。假定凸台不变形，薄壁管与轴的材料相同，剪切弹性模量G = 40 GPa。试：

（1） 分析卸载后轴和薄壁管的横截面上有没有内力，二者如何平衡？

（2） 确定轴和薄壁管横截面上的最大切应力。

例题图3-11

例题图3-11（续）

解：

（1） 分析卸载后轴和薄壁管横截面上的内力。

焊接前，轴承受扭矩，轴发生扭转变形。此时，若卸载，则轴的扭转变形将全部恢复，因而轴的横截面上不会有扭矩。但若与薄壁管焊接后再卸载，则轴的扭转变形不能完全恢复，因而轴的横截面上必然存在扭矩（设为T1），而且小于原来的扭矩（因为恢复了部分变形）。

二者焊接后形成一个整体，如果用一个假想截面将整体截开，此时整个横截面由轴和薄壁管的两部分横截面组成。卸载后，由于没有外加扭矩的作用，所以仅在轴的横截面上存在扭矩（T1）无法使整个横截面上的合力矩为零。因此，薄壁管的横截面上必然存在与T1大小相等、方向相反的扭矩（记为T2），二者组成平衡力系，使截开的整个横截面上合力矩为零，如例题图3-11（b）所示。于是，有

T1 = T2

（2） 确定轴和薄壁管横截面上的最大切应力。

设轴受扭矩Me = 73.6 N·m作用时，长为l的两端面相对扭转角为ϕ0，如例题图3-10（c）所示。于是，由式（3-21）得

如例题图 3-10（d）所示，焊接后卸载，薄壁管承受扭转，设其相距为l的两端面相对扭转角为ϕ2，则轴上没有恢复的相对扭转角为ϕ1=ϕ0−ϕ2，即

式（b）就是变形协调方程，其中

将式（a）和式（c）代入式（b），得

由此解得

其中

于是，卸载后薄壁管横截面上的最大切应力为

将IP1、IP2值代入式（f），得

卸载后，轴横截面上的最大剪应力为

讨论：该例题实际上就是扭转装配应力问题。