1.5.3 电阻星形与三角形连接的等效变换

在电路中，电阻的连接除了简单的串联和并联外，还会经常遇到一些被称为星形（或T形）和三角形△（或π形）的复杂电阻连接的电路结构，如图1-51（a）所示。

在图1-51（a）中，3个12Ω电阻的连接可以看成是△连接结构，为了便于计算电流I，若能将图1-51（a）中a、b、c三个节点内的△连接等效转换成图1-51（b）中电阻Ra、Rb、Rc的连接，再计算电流I就方便多了。这就是所谓的电阻星形（）连接与三角形（△）连接等效变换的问题。可见，类似复杂连接的电路计算，若用此等效变换，可以有效地化简电路，以方便计算。

等效变换是指对于待变换的电路部分，在变换前后，对外电路的各电压和电流应该不变。

图1-52（a）是电阻的星形连接，图1-52（b）是电阻的三角形连接。若两者是等效的，则应该有外界流入两图对应节点 a、b、c的电流相等。并且，两两节点端间的电压也应该相等。当满足这两个等效条件后，图1-52（a）电阻的星形连接与图1-52（b）电阻的三角形连接就可以相互等效替代了。

下面推导电阻的星形连接与三角形连接的等效变换的关系式。

将图1-52（a）和图1-52（b）重新画出，如图1-53（a）和图1-53（b）所示。

由等效的定义，假设两个图电路是等效的，则对应的任意两端点间的等效电阻也应该是相等的。

1.推导将电阻△连接等效变换为连接的关系式

先设两个图的c端对外开路，则其他两端a、b间的等效电阻表示为

同理，b、c间等效电阻为

c、a间等效电阻为

将式（1-63）减去式（1-64）后，再加上式（1-65），即

得

同理

式（1-66）～式（1-68）是将电阻三角形连接等效变换为星形连接的关系式。

2.推导将电阻星形连接等效变换为三角形连接的关系式

先对图1-53（a）星形连接的a、b端外加直流电压US，并且短路c、b端，电流Icb，如图1-54（a）所示。

由并联电阻的分流公式，得

式（1-69）中的“//”符号表示两电阻间是并联关系。

再对图1-53（b）三角形连接的对应a、b端外加同样的电压US，并且短路c、b端，电流Icb，如图1-54（b）所示，则

由等效的定义，式（1-69）等于式（1-70），得

同理得

式（1-71）～式（1-73）是将电阻星形连接等效变换为三角形连接的关系式。

3.当星形连接或三角形连接的三个电阻相等时的关系式

若

Ra=Rb=Rc=RY

或

Rab=Rbc=Rca=R△

可得

或

例1-15计算图1-51（a）所示电路中的电流I。

解：

先将图1-51（a）中a、b、c三节点内三角形连接的电阻等效变换为连接，如图1-51（b）所示。由于图1-51（a）中，a、b、c三节点内的三电阻值相同，由式（1-74）得图1-51（b）中电阻Ra、Rb、Rc为

其次将图1-51（b）等效为图1-51（c）电路，得

Recd=Rc+2=4+2=6Ω

Rebd=Rb+8=4+8=12Ω

最后，待求电流I为