1 MS-DFM计量模型和估计方法

任何模型的成立都需要一定的假设条件。本文具有以下假设：第一，假定经济增长率仅有高低两种状态，经济活动是不可观测的，代表可观测变量的共同成分，能够在每个时点确认处于何种状态；第二，假定在高低两种状态下转换是瞬间的，不需要过渡时间。利用马尔可夫机制转换模型是因为经济在不同状态下的转换是瞬时的，不存在过渡时间。以中国GDP同比增长率来看，2008年国际金融危机期间，该年第一季度同比增长率为11.59%，第四季度同比增长率为7.05%；而2009年第一季度同比增长率仅为6.79%。经济增长率由11.59%下降到7.05%再到6.79%是直接完成的，不需要过渡时间。

我们采用Kim和Yoo（1995）使用的多变量MS-DFM来对模型进行描述。模型假设一小部分变量所包含的信息能够由一个动态的潜在变量（因子）和一个特质成分所描述，因子是一系列经济指标的联合反应。模型可以表示如下：

其中，yt是N × 1经济指标向量，ft是单一因子，zt是N × 1特质成分向量，γ是N × 1向量。假定因子ft遵从一个自回归为恒定概率的马尔可夫转换过程。正如前文提到的，我们假定经济仅存在两种状态——繁荣和衰退，并且遵循一个滞后多项式为φ（L）的自回归过程。按照Kim和Yoo（1995）的做法，我们假定φ（L）的阶数为2。

其中，ηt∽i. i. d. N（0,1）, φ1和φ2是自回归系数。对每个状态的持续期，我们不施加任何约束，因此衰退期可能仅仅持续一个月。同样的，我们假定特质成分zt遵从滞后项为2阶的自回归过程。其中，εt∽N（0, ∑）, φ1和φ2是对角矩阵的系数。新息εt不存在自相关，协方差矩阵∑是对角矩阵。

转移均值定义为：

St服从遍历的马尔可夫链Pr（St=j| St-1=i, St-2=k, …）=P（St=j|St-1=i）=pij。因此St转移状态依据转移概率矩阵定义为：

其中，P（St=0| St-1=0）=p00。为了建立似然函数，将模型转化成状态空间的形式：

其中，αt是状态变量，αt=（ft, ft-1, z′t, z′t-1）′，其中zt=（z1t, z2t, …, zNt）′; ωt=（ηt, ε′t）′，其中 εt=（ε1t, ε2t, …, εNt）′; E（ωtωt′）=Q = diag{1, σ21, …, σ2N}; μSt= [βSt, 0′（2N+1）×1]′; B、T和R是相应的系数矩阵。状态空间模型可以有如下形式：

卡尔曼滤波方程可以写成在时间t和t-1已实现的状态变量。如果X（j, i）t|t-1表示变量Xt在信息到达时间t-1和实现的状态St=j和St-1=i条件下的预测值，卡尔曼滤波方程可以写成如下形式。

预测步骤：

误差步骤：

更新步骤：

卡尔曼增益可以表示如下：

样本的条件似然函数可以用极大似然估计如下：

其中，θ = [φ1, φ2, diag（φ1）, diag（φ2）, γ, , …, , β0, β1, p00, p11]′是未知参数向量，函数f（·）是高斯密度函数，It是在时间t存在的信息集合。状态j∈ {0, 1} 在时间t的滤波概率由时间t可获得的信息条件决定，即Pr（St=j|It, θ），由贝叶斯公式可知：

其中：

滤波概率可以通过递归计算，状态 j∈ {0, 1} 在时间为0的初始化稳态概率如下：

正如前文所提到的，模型可以使用极大似然估计法进行估计。两步估计法首先利用主成分分析对因子进行估计，然后将因子带入模型对其他参数进行估计。两步估计法的算法如下。

首先，在不考虑马尔可夫转换的情况下从方程（1）中提取一系列经济指标的因子。本文主要利用主成分分析并将第一主成分作为因子估计的近似替代。

其次，第一主成分假定满足方程（2）和方程（4）。利用Hamilton（1989）的单变量马尔可夫转换模型对因子进行估计。模型的参数通过极大似然法进行估计，极大似然函数如下：

最后，滤波概率依据方程（17）计算。两步估计法的优势在于：第一，允许考虑较大的序列集；第二，由于第一步已经对因子进行了估计，剩余待估未知参数相对较少。