第4章　成本最小化

1．严格证明利润最大化意味着成本最小化。

Prove rigorously that profit maximization implies cost minimization.

证明：令为价格下利润最大化的一个投入向量。这意味着，对于所有可允许的，必须满足

。

假设对于产出，没有使成本最小化，即存在一个向量满足与w，因而在下所取得的利润必须大于在下所取得的利润：

这与使利润最大化的假设相矛盾，故假设不成立，因此利润最大化意味着成本最小化。

2．使用库恩-塔克定理得出即使最优解涉及边界解时也是正确的成本最小化条件。

　 Use the Kuhn-Tucker theorem to derive conditions for cost minimization that are valid even if the optimal solution involves a boundary solution.

答：互补—松弛条件为：

当和成立时，上式就隐含着：

这个不等式意味着用代替时，可以降低成本，然而由于企业已经用完了它可以得到的的所有数量，所以继续降低成本是不可能的。

3．一个厂商有两个车间，它们各自的成本函数为和。该厂商的成本函数是什么？

　 A firm has two plants with cost functions  and .What is the cost function for the firm?

解：厂商的成本最小化问题为：

从约束条件中解出的表达式，然后代入目标函数式中得到：

下面分情况讨论：

（1）如果，那么的最优值为1，此时的成本函数为。

（2）如果，那么的最优值为，此时的成本函数为。

4．一个厂商有两个车间。一个车间根据生产函数来生产产出，另一个厂车间的生产函数是

。该技术的成本函数是什么？

　 A firm has two plants. One plant produces output according to the production function .The other plant has a production function .What is the cost function for this technology?

答：考虑柯布-道格拉斯技术的成本函数的成本最小化问题（以第一个车间的生产函数为例）：

将上述问题转化为无约束问题：

一阶条件为：

得到要素需求函数：

将要素需求函数代入到目标函数中：

其中，。

因此第一个车间的成本函数为：，则第二个车间的成本函数为：，其中，

，。

如果厂商采用成本最低的生产方法进行生产，则该厂商的生产成本函数为：

即让平均成本低的工厂生产所有的产量。

5．假定厂商有两种可能的方式来生产产出。方式a：使用单位的物品1和单位的物品2来生产1单位的产出。方式b：使用单位的物品1和单位的物品2来生产1单位的产出。要素只能以这些固定比例使用。如果要素价格是，对这两种要素的需求是什么？该技术的成本函数是什么？对什么样的要素价格，成本函数是不可微的？

　 Suppose that the firm has two possible activities to produce output. Activity a uses units of good 1 and  units of good 2 to produce 1 unit of output. Activity b uses  units of good 1 and  units of good 2 to produce 1 unit of output. Factors can only be used in these fixed proportions. If the factor prices are , what are the demands for the two factors? What is the cost function for this technology? For what factor prices is the cost function not differentiable?

答：生产函数为：

方式a：

方式b：

用方式a生产1单位产品的成本是，用方式b生产1单位产品的成本是。这样如果厂商计划生产单位的产量，那么它会使用成本较低的那种生产方式生产全部产品，从而厂商的成本函数为：

要素1的需求函数由下式给出：

要素2的需求函数由下式给出：

当时，成本函数将是不可微的。

6．一个厂商有两个车间，成本函数分别是和。生产的产出，它的成本是多少？

　 A firm has two plants with cost functions  and . What is its cost of producing an output y?

解：企业的成本最小化问题为：

这个问题的拉格朗日函数为：

这里、、都是非负的。库恩-塔克条件为：

下面分情况讨论：

①最优解为内部解的情况：此时、都等于零，这就意味着：

大于零又意味着，从而解得：

②最优解为角解的情况：此时若，那么：

可见角解优于内部解。若时，，故这种情况舍去。

综上可知，厂商的成本函数为：

7．表4-1显示了对一个厂商的要素需求、，要素价格、和产出的两组观测值。表中所描述的行为与成本最小化行为一致吗？

　 Table 4-1 shows two observations on factor demand , , factor prices, , , and output,  for a firm. Is the behavior depicted in this table consistent with cost-minimizing behavior?

表4-1　要素的价格，投入数量和产出数量的关系

答：表中所描述的行为与成本最小化行为不一致。理由如下：成本最小化行为意味着成本最小化弱公理成立，即：

现在生产100单位产出花费的成本为：，但在同一价格下，生产110单位的产出花费的成本仅为：

这就和成本最小化弱公理相矛盾.

8．一个厂商有生产函数。如果在时，生产的最小成本等于4，等于什么？

A firm has a production function .If the minimum cost of production at is equal to 4, what is

 equal to?

解：企业的成本最小化问题：

　  （1）

将代入目标函数，得出无约束最小化问题：

　 （2）

其一阶条件是：

  （3）

得到：

  （4）

同理有：

  （5）

将（4）式和（5）式代入目标函数中，得到成本函数为: ，根据已知条件最小成本为4，即：，解得：