命题III.28

在相等圆中，等弦截出相等的弧，优弧等于优弧，劣弧等于劣弧。

设：圆ABC与圆DEF相等，弦AB等于弦DE，切分的优弧为ACB和DFE，劣弧为AGB和DHE。

求证：优弧ACB等于优弧DFE，劣弧AGB等于劣弧DHE。

令：K、L分别为两圆的圆心，连接AK、KB、DL和LE（命题III.1）。

因为圆相等，那么半径相等，所以：AK、KB分别等于DL、LE，且第三边AB等于第三边DE。所以：∠AKB等于∠DLE（命题I.8）。

又，因为当它们是圆心角时，它们所对的弧相等，所以：弧AGB等于弧DHE（命题III.26）。

又：圆ABC也等于圆DEF。

所以：弧ACB也等于弧DFE。

所以：在相等圆中，等弦截出相等的弧，优弧等于优弧，劣弧等于劣弧。

证完

注解

这一命题应用在命题III.30、XIII.18中。