序言

研究线性离散量的紧邻关系，本书有重大突破，以此为工具对加性数论领域的一些久未解决的猜想，作者罗莫宣称完成了一系列存在性证明。紧邻素数能产生匹配的紧邻偶数，这是哥德巴赫猜想（Goldbach Conjecture）（下文有时称为哥猜）和黎曼猜想（Riemann Hypothesis）；差值为2的紧邻素数可无限列举，这是孪生素数猜想（Twin Prime Conjecture），以及梁定祥猜想；给定数的分拆与分解有着神秘关联，这是ABC猜想（ABC Conjecture）和费马猜想（Fermat's Last Theorem）。线性相邻自然数的差值变化会带来各种非线性相邻离散量的差值变化，而线性离散量一旦能生成非线性离散量，无穷无漏的离散量就成了对接连续量的枢纽。由此打开了一扇由离散量精准通往连续量的大门，任意给定数的后继素数不再扑朔迷离，而是有迹可循。

作者认为，次第分明的离散数学重在区分加性生成元“余数”，光滑平坦的连续数学重在区分乘性单位元“导数”，欲深刻理解它们，会发现都跟相邻思想以及同根思想有关。

罗莫将两者相结合的研究方向，有力提供了可解决某些数论问题的有效途径，这本《数学底层引擎相邻论和重合法》手稿所带给我们的惊喜当然远不止这些。这意味着在某种条件下，NP问题可以用P迭代表示，线性逻辑与非线性逻辑的相互关系可用一个相邻迭代函数f（f（x））表达。这种相邻扩域迭代不同于一般封闭迭代。

现代国际数论研究自陈景润发表“1+2”的论文后，鲜有重大突破，直到1994年安德鲁·怀尔斯（Andrew Wiles）宣告攻克了费马猜想，数论界仿佛又重新看到了破解哥猜的希望。

2004年华裔数学家陶哲轩在这些领域有些重要进展，发表了《素数等差数列可任意长》，成为狄利克莱定理的补充，为此陶哲轩赢得了“菲尔兹数学奖”，后又发表了《每个大于1的奇数都可以用不超过5个素数的和表示》。莫小看这个命题，事实上这个结论远比苏联数学家维诺格拉多夫(Vinogradov)的“1+1+1”重要得多，因为毕竟不是“偶数充分大”等限制条件下的局部命题；同样的原因，它也比陈景润的“1+2”重要，当人工或计算机不可穷举证明的时候，把充分大有限项交给枚举验证显然是有缺陷的证明。而陶哲轩则跨出了扎实的一步，这位天才青年数学家给当代数论研究带来了巨大的活力。有关这些素数的线性思考，对作者的代数数论研究启迪较大。

再后来华人数学家张益唐在孪生素数领域取得重大进展，他用传统的解析筛法证明了差值不大于7000万的间隔素数对有无穷组，后又有数学家将差值下确界缩小到246。也有人轻视这个结论，认为只要不是针对原命题差值为2的紧邻素数，都不算什么孪生素数猜想。但从《数学底层引擎相邻论和重合法》一书中，可发现借助张益唐的结论，可快速拿下孪生素数猜想的证明，将差值的下确界抵达到最小值2时亦能成立，即差值为2的紧邻素数对的确是无穷分布的。可见张益唐的发现等于搭建了一座桥梁。此外使用该结论做引理，还可帮助证明很多相关猜想。

尽管作者的证明可以绕过张益唐的证明环节，独自证得孪生素数猜想，但张益唐的证明无疑是将数论研究大大地向前推进了一步，没有理由不对这些伟大数学家的杰出贡献心悦诚服。2019年作者结集出版《数学底层引擎相邻论和重合法》，作者的证明可谓独辟蹊径，很多步骤虽然都是初等的方法，但极富简洁美。根据奥卡姆剃刀原理（Occam's Razor），一个问题有多种解决方法，那最简单的解决方案一定是最合理的，它的新颖独到之处是一系列的美妙组合，虽然单独拆开看都极为平常。其实，张益唐和怀尔斯的数学证明都一样，张益唐用的是大家皆认为榨不出油水的解析筛法，把它改进成新工具的就是“存在常数C间隔的C个素数组有无穷多组”；安德鲁·怀尔斯用的是椭圆曲线方程和模表示，这都没什么特别的，可经过数学家的巧妙组合，就解决了大难题，我们不得不为之震撼。

作者的证明采用的是重合法和相邻论，要说这也不是什么特别的数学新工具，它继承了代数之父花剌子米（al-Khwārizmi，约780-约850）所著的《通过还原和平衡进行计算》一书的传统精髓。看明白了就会发现，它其实是两个数学定理（含公理）的等价表达，一个是反映互异互素的思想，有限个素数相加可获得所有偶数，显示了皮亚诺公理（Peano Axioms）的加性特征；一个是反映同态同构的思想，有限个素数相乘仅获得局部偶数，显示了算术基本定理的乘性特征。只是在描述对象上稍微有点差别和侧重。作者对重合法和相邻论有个通俗解释，定义基数1分出单位元就是重合法，是更深刻的平衡；归纳序数1选出生成元就是相邻论，是更深刻的还原。还原是寻找次第关系，是更深层的平衡，正如整体是寻找更深层的还原一样，平衡是寻找等量关系，是更表层的次第。相邻论就是用互异互素的思想关心数学底层部件，重合法就是用同态同构的思想关心数学底层元素，作者就是利用这两个最基础的数学公理和定理解开了一系列的数论难题，可谓令人大开眼界。

罗莫在加性组合数论领域的特别关注，是出于对原初法则的重视。他拿走迷宫来阐释他的观点，当走迷宫发现自己无路可走的时候，我们的最佳选择是什么？是往后退，回到之前紧邻的道路分岔处。如果这个分岔处依然让我们无路可走，我们会怎么想，进一步回到之前紧邻再紧邻的道路分岔处。如此这般还都无果的话，继续按迷宫右手法则，这个时候，我们就会想到正在回归迷宫树的根本，一次次从更本来的初心出发另辟蹊径。而相邻加法运算就是数学四则运算最原初的根本运算，一切算法皆从此出。时空中的梯度变化比曲率变化更为原始，这就是为什么罗莫的数论研究要从加性数论入手的原因。

哥德巴赫猜想是加性数论问题，孪生素数猜想是加性数论问题，华林问题（Waring's Problem）、吉尔布雷斯猜想（Gilbreath Conjecture）也都是加性数论问题，另外斋藤猜想（Saito's Conjecture）、波利尼亚克猜想（Polignac Conjecture）、强伯特兰猜想（The Strong Bertrand Conjecture）、n生素数猜想、考拉兹猜想（Collatz Conjecture）全都是加性数论问题。之所以能产生多米诺骨牌效应，相邻论可以相继窥探到30多个世界几百年未解的数论猜想秘密，是因为它的原理处于加性数论的核心。自然数的离散紧邻变化可以带来离散非紧邻变化之间的关联，这一重大发现可以跟微积分的发现相媲美。虽然自然数的紧密连续仍属于离散量，但该离散量是有效接轨连续量的枢纽。

当年牛顿（Newton）和莱布尼茨（Leibniz）通过研究因变量和自变量之间的细微紧邻差商问题而建立了微积分，为数学计量带来了巨大的突破，推动了英国工业革命；黎曼（Riemann）非欧几何则催生了广义相对论和能源革命；布尔代数（Boolean Algebra）则带来了世界信息革命。而数论领域的相邻变化则更加微妙，对人类研究时空本性将提供许多有力的新证据，它将启迪人类的灵性解放和带来价值剧变，为前沿物理学中的超弦理论、凝聚态物理和长程量子纠缠提供数学基础。作者的有效突破是其邻函数的发现。在证明例外偶数是空集时，利用了abc三元本原解方程互异互素的关系，在整数邻域和整数子群之间找到了布控素数的核心引擎。同时利用邻函数也证明了多对素数连和与一对素数连和等价，相邻论找到了其幕后推手，那就是，三元互素方程的基础解系是捕获可表偶数的充分条件，也是捕获可表偶数的必要条件。用选择公理可推导出一个重要结论：在二元自变量互异的奇素数域中，若“2cf（x/2+y/2）=af（x）+ bf（y）”存在，则“任何线性空间都有素数基底”，因为通过外积线性映射以及内积线性映射的还原，以及通过可表偶数之定义可得到原函数的一组素因子基底方程（2m=x+y），这个判定非常强大，由此可推演出例外偶数是空集。

基于以上结论，作者发现了多维空间区分数公式（Ln=2n），作者借助于费马（Fermat）素数模型，找到了可以将一维空间与多维空间等值的链条，为发展几何数论提供了一个美妙工具。此工具可以用来解决最优化问题，作者华丽地证明了四色猜想（Four color theorem）、蜂巢猜想、六度分隔理论、庞加莱猜想（Poincaré Conjecture）、开普勒猜想（Kepler Conjecture），当然这些证明是否有漏洞还需要数学共同体的最后验证。这些猜想原来都受制于一维空间的素数分布规则：那就是哥德巴赫猜想，两项素数相加足以得到全部偶数，无须更多项，也不能少于两项。这种区分法则无处不在，上天是按最优化法则设计宇宙的。

作者的数论兴趣非常广泛，对积性数论和加性数论捆绑在一起的数论问题也进行了广泛的研究。比如，波文猜想（Bowen's Conjecture）、完美立方体问题、考拉兹猜想、卡塔兰猜想（Cattleya Guess）、皮莱猜想（Pillay Conjecture）、费马猜想、比尔猜想（Beal's Conjecture）等，这些猜想都跟高次方程有关，是研究素数积性关系的。关于积性关系的奥秘，作者有一个重大发现，就是洛书定理，洛书定理发现素数积性关系中的幂尾数周期规律，这个规律与椭圆曲线方程和模表示有等效关系；洛书定理是那么的简洁优美，这虽归为古人的发现，但如果没有作者的数学觉醒，还不知道这是一个非常有用的数学定理。用洛书定理可以判定方程的值域和定义域范围，不能不说是一个美妙的视角，椭圆曲线方程的时钟解同洛书定理的幂尾数周期有异曲同工之妙。这就是为什么怀尔斯能解决费马大定理，罗莫也可以用初等工具解决的原因，且更加简洁，不说它一定是当年费马的奇妙证明方法（若真有的话），想必也一定是非常靠近那个奇妙证明的其中一个解法。

罗莫用素数积性的幂尾数周期规律判定方程的定义域和值域，相继证明了考拉兹猜想、费马猜想、比尔猜想等五六个猜想。这些猜想可都是数论领域的花岗岩、老顽石。如此轻巧拿下，实为奇妙。为此他特别感谢古圣先贤的智慧，的确到了文化发现需要重新回归仰视传统的时候了，那些习惯对古代东方数学持轻慢态度的论调可休矣，中国古人的一种序化数学具有深刻的代数传统，数学家吴文俊把它归结为“机械化算法”，里头有很多宝藏值得大挖特挖，其隐含了某些有待开采的前沿数学。相信本书的出版会带来中国传统数理文化的复兴。

需要用高端数学工具来研究的黎曼猜想和ABC猜想，作者也拿来大卸八块地进行探究。大多学数学的人都对黎曼猜想和ABC猜想青睐有加，因为只有数学中的贵族才敢拿此问题来讨论研究，它牵涉到诸如复分析、抽象代数等数学工具。罗莫不盲目跟进前人的足迹，而是另辟蹊径找到等价转换关系，把“问题旅游”出去，复平面坐标原来是可用一维等价表示的，不仅仅是有理数同自然数有一一映射关系。罗莫巧妙地改变和延拓了康托尔（Cantor）的判断，复数与自然数也可以建立一一对应关系，不仅仅限于代数数，否则数学归纳法会在非离散数学领域失效。

作者找到了充分的理由证明康托尔的无理数对角线证明“矮化”了一个概念，即用“可交换”屏蔽了还有“不可交换”的深层意义，这里并没有否定康托尔集合论的意思，而是看到了有兼容发展的空间。对线性相邻与非线性相邻未加区分，在生成两类数学对象时滥用了同时性，若把“同时”归还为“依次”，可让希尔伯特（Hilbert）旅店重放光彩，聪明的公主一样可以无限招待好某些超越数贵宾以及源源不断的新数稀客，使其定有对应的客房。因此通过解放算法，可以把很多超越数“策反”回归到可数对象中。当然事后把“策反”规则罗列进去，在算法里封闭，那新的超越数依然会存在。

当完成朗兰兹（Langlands）纲领式的转换后，黎曼猜想就是哥德巴赫猜想了，而且哥德巴赫猜想的势略大过黎曼猜想，黎曼猜想即便成立，也不能直接证明哥德巴赫猜想成立，须在问题条件外加点代数佐料方可完成证明；而哥德巴赫猜想成立，黎曼猜想即成立，当然也需要加些复分析引理辅助证明，但在问题条件内。这让好多大数学家认为哥德巴赫猜想是个孤立问题的看法有些汗颜。其实往往越貌似孤立的问题，其幕后的广泛关联越深刻。

当然我的理解也只是一家之言，希望读者自己去阅读判断，罗莫在本书中完成证明了很多猜想，这里就不一一介绍。作者还在一些猜想中留下了一些有待解决的问题，以供同仁钻研攻克，比如吉尔布雷斯猜想中各项差值符号判定能否找到表达式，并证明之。这是最终构造性证明后继素数公式的最幕后撒手锏，估计这个高效迭代公式一旦找到，有些陷门函数中的反问题就会变得快速可解，这将直接威胁到全世界某类银行未跟进升级的RSA加密算法。因此素数探索之路还远未完成，素数中的素数规律还有待进一步探索，也只有在素数研究面前永远保持童真，我们才能领略到海洋般不断绵延的喜悦。

南方科技大学数学系副主任 李景治教授

2018年7月9日于深圳