2.0．用相邻论的递推法证明强孪生素数猜想

波利尼亚克猜想：对所有自然数n，存在无穷多个素数对（p, p+2n）。n=1的情况就是强孪生素数猜想，其他则习惯称为弱孪生素数猜想。证明强孪生素数猜想成立，除了可以在波利尼亚克猜想成立的基础上获得证明，也可以单独在相邻论的基础上获得证明。

假设大于k的素数，k为素数任意定值，k1-k2（大于或等于4, k1素数和k2素数囊括了所有大于k的素数，而p1和p2为小于k的素数，p1＞p2，即孪生素数在大于k时不再存在），那么根据相邻论必有：{p1+p2}∪{k1+k2}∪{k1+p1}∪{k2+p2}∪{p1+k2}∪{p2+k1}的偶数集如果能获得给定偶数2h，则通过更换一个新增素数定能获得偶数2h+2。

而{p1+p2}是一个给定的有限偶数集，要获得无限新增偶数，{p1+p2}必须更替其中一个新增素数，才能得到差值为2的新偶数，只有持续如此，才能得到偶数全集。如果递增更替一个大于p1且差值等于4的素数，能够获得新增偶数，那么只有当p1-p2=2时，新增大于4的素数，才能获得新偶数。可见差值大于4的新增素数一旦存在，孪生素数就会相邻存在，这就与规定的k相矛盾，k可以为素数的任意定值，且k1-k2不能等于2。

那是不是不需要无限反复递增更替差值为4的素数出现，就能获得新增素数呢？因为只有如此才能避免出现孪生素数，即让k1-k（2定义域大于或等于6），可是这样一来，必有无穷个差值k1-k2=4的素数对会相邻出现，这就与定义域大于或等于6相矛盾。因此差值为6的素数对就不能出现。同样的道理，差值不小于8的素数对也不能出现，否则会同前面的假设相矛盾。

由此进一步扩展，即让k1-k2（定义域大于或等于2n+2），必有差值k1-k2=2n的素数会相邻出现，这就与定义域大于或等于2n+2相矛盾。故差值为2n的素数就不能出现。再因为所有的素数之差都属于2n，这就导致无法递增任何新素数来获得新增相邻偶数。

但相邻论显示，当且仅当替换一个或等价替换一个新增素数参与的2个素数之和才可以获得可表偶数的相邻偶数，否则，替换更多更少个新增素数都不能获得新增相邻偶数，要么等价数即多素数之和的因子根据假设须同域内素数解集互异但可解集非互素时，即p1+p2≠p3+kp4，则p1+p2+2≠p3+kp4+2，因不等式两边加2，还是不等式，等价于p1+p2+2≠p3+k0p0，而k与k0、p4与p0的解集同p1、p2一样非解集互素，可互为替换，故p1+p2+2≠p3+kp4，此情形可排除；要么等价数即多素数之和的因子根据假设须同域内素数因互异且解集互素，然这样的因子不存在，故可穷分类的两种情形皆可排除。

这可反证出，必须有素数差等于2n的一个新增素数参与来获得新增相邻偶数，可一旦有素数差k1-k2=2n的新增素数参与获得新增相邻偶数，就必存在素数差k1-k2=2n-2的新增素数出现，乃至递减得到k1-k2=4的新增素数会次第相邻出现，若不允许新增素数可无穷参与k1-k2=4，就无法获得新增相邻偶数；而新增素数一旦无穷参与k1-k2=4，就可以无限相邻得到k1-k2=2的孪生素数。由此孪生素数是无穷存在的也就得到了证明。