1.2.4　特征向量和特征值

矩阵可以通过分解发现矩阵表示成数据元素时不明显的函数性质。特征分解是矩阵分解最常使用的方法之一，它将矩阵分解成一组特征向量和特征值。矩阵A的特征向量是指与A相乘后相当于对该向量进行缩放的非零向量x：

标量λ被称为这个特征向量对应的特征值。类似地，我们也可以定义左特征向量x^TA=λx^T，但是通常更关注右特征向量。如果υ是A的特征向量，那么其缩放后也是A的特征向量。此外，鉴于sυ和υ有相同的特征值，因此我们通常只考虑单位特征向量。

假设矩阵A有n个线性无关的特征向量{υ⁽¹⁾，…，υ⁽ⁿ⁾}，对应的特征值为{λ₁，…，λ_n}，我们可将特征向量连接成一个矩阵使得每一列是一个特征向量[υ⁽¹⁾，…，υ⁽ⁿ⁾]，同时也可以将特征值连接成一个向量λ=[λ₁，…，λ_n]^T，则可以将特征分解为：

不是每个矩阵都能够分解成特征值和特征向量。在一些情况下，特征分解可能会涉及复数和非实数。每个实对称矩阵都可以分解成实特征向量和实特征值：

其中，Q是A的特征向量组成的正交矩阵，Λ是对角矩阵。特征值Λ_i，i对应的特征向量是矩阵Q的第i列，记作Q_：，i。