习题
1.计算下列行列式：
（1）
；（2）
；
（3）
；（4）
。
2.
取何值时，行列式
？
3.已知行列式
，计算
，其中
为该行列式中第一行第j列元素的代数余子式。
4.（1）求
的值，使线性方程组
有非零解。
（2）讨论
为何值时，线性方程组
有唯一解，并求出其解。
5．计算下列矩阵乘积：
（1）
；
（2）
。
6．已知两个线性变换
和
，求从
到
的线性变换。
7．设
，
，求：①
；②
。
8．设
为n阶矩阵，若已知
，求
。
9．设n阶矩阵
的伴随矩阵为
，证明：
。
10．设
，
，它们满足
，求未知矩阵
。
11.设
，
，则：①计算
；②求向量
，使
。
12.向量
，
，
能否分别由向量组
线性表出？若能，求其表达式；若不能，说明原因。
13.当
取何实数时，下列向量正交：
（1）
；（2）
。
14.设
，
，求一个单位向量
，使得
与
都正交。
15.已知3阶方阵
的特征值为1,2,-1，求：
（1）
和
的伴随矩阵
的特征值；
（2）
。
16.设3阶实对称矩阵
的特征值为1,2,3,
属于特征值1,2的特征向量分别是
，
。
（1）求
属于特征值3的特征向量；
（2）求矩阵
。
17.设
，则：①将
对角化；②计算
。
18.工业发展与环境污染在社会发展中是互相制约的关系。某地区经充分调研，当确定以4年为一个发展周期时，找到它们有如下的关系：
（1.18）
其中，
是该地区目前的污染损耗（由土壤、河流及大气等污染指标测得）；
是该地区目前的工业产值；
则表示经历第n个发展周期（4n年）后该地区的污染损耗和工业产值，记
（1）写出式（1.18）的矩阵表示，如果当前水平
，求经历第一个发展周期后该地区的工业产值；
（2）预测若干年后该地区的工业产值。