2.2　向量

向量是一个有方向的量，它是高等数学、线性代数中的概念，在力学、电磁学等领域有着广泛应用。向量是由n个数a1，a2，…，an组成的有序数列，形式如下：

2.2.1　创建向量

在MATLAB中，向量主要采用一维数组来表示。创建向量主要有直接输入法、冒号表达式法和函数法。

1.直接输入法

在命令提示符之后直接输入一个向量，其格式如下：

【例2-1】采用直接输入法创建向量。

在命令行窗口中输入以下命令并显示输出结果。

说明：在后面的算例中，直接创建的向量或矩阵语句后采用了“；”结尾，表示不在命令行窗口中输出结果，不输入“；”可直接显示结果。

2.冒号表达式法

利用冒号表达式也可以创建向量，其格式如下：

其中，a1为向量的第一个元素；an为向量最后一个元素的限定值；step是变化步长，可以是正数、负数或者小数，省略时系统默认步长为1。

MATLAB支持构造任意步长的向量，步长甚至可以是负数。

【例2-2】利用冒号表达式法创建向量。

在命令行窗口中输入以下命令并显示输出结果。

3.函数法

MATLAB提供了两个函数用于直接创建向量：一个是实现线性等分的函数linspace；另一个是实现对数等分的函数logspace。

（1）函数linspace的通用格式如下：

其中，a1是向量的首元素，an是向量的尾元素，n把a1至an的区间分成向量首尾元素之外的其他n-2个元素。若省略n，则默认创建含有100个元素的线性等分向量。

（2）函数logspace的通用格式如下：

其中，a1是向量首元素的幂，即A（1）为10的a1次幂；an是向量尾元素的幂，即A（n）为10的an次幂；n是向量的维数。若省略n，则默认创建含有50个元素的对数等分向量。

【例2-3】利用线性等分函数及对数等分函数创建向量。

在命令行窗口中输入以下命令并查看输出结果。

采用冒号表达式法和线性等分函数都能创建线性等分向量，但在使用时有几点区别需要注意。

（1）在冒号表达式法中，an不一定恰好是向量的最后一个元素，只有当向量的倒数第二个元素加步长等于an时，an才正好构成尾元素。

（2）在使用线性等分函数前，必须先确定创建向量的元素个数，但使用冒号表达式法将依据步长和an的限制去创建向量，无须考虑元素个数的多少。

（3）实际应用时，同时限定尾元素和步长去创建向量，可能会出现矛盾，此时要么坚持步长优先，调整尾元素限制；要么坚持尾元素限制，调整等分步长。

2.2.2　向量的算术运算

在MATLAB中，维数相同的行向量可以相加减，维数相同的列向量也可以相加减，标量数值可以与向量直接相乘除。但是，不同维数的向量之间的加减运算是不允许的。

【例2-4】向量的加减和数乘运算示例。

在命令行窗口中输入以下命令并查看输出结果。

2.2.3　向量的点积和叉积运算

向量的点积即数量积，叉积又称向量积或矢量积。MATLAB是用函数来实现向量的点积、叉积运算的。

1.点积运算

点积运算的定义是将参与运算的两向量各对应位置上的元素相乘，再将各乘积相加。因此，向量点积的结果是一标量而非向量。

（1）对于长度为n的两个实数向量的点积为：

（2）对于复数向量，点积涉及复共轭。须确保向量与自身的内积都为实数正定矩阵。

点积运算函数是dot（），其调用格式为：

说明：如果A和B是向量，则它们的维数必须相同。如果A和B为矩阵或多维数组，则它们必须具有相同大小。对于实数向量，dot（u，v）=dot（v，u）；对于复数向量，复数关系不可互换，dot（u，v）=conj（dot（v，u））。

2.叉积运算

两个三维向量A、B之间的叉积生成一个与这两个向量都垂直的新向量C，即C的方向垂直于A与B决定的平面。用三维坐标表示为

叉积运算的函数是cross（A，B），该函数计算的是A、B叉积后各分量的元素值，且A、B只能是三维向量。

叉积运算函数是dot（），其调用格式为：

说明：①如果A和B为向量，则它们的长度必须为3。②如果A和B为矩阵或多维数组，则它们必须具有相同大小，此时，cross函数将A和B视为三元素向量集合，计算对应向量沿大小等于3的第一个数组维度的叉积。

3.混合积运算

在三维向量之间，综合运用上述两个函数，可实现点积和叉积的混合运算。

【例2-5】向量的点积与叉积运算示例。

在命令行窗口中输入以下命令并查看输出结果。

在获取交叉乘积的维度中，A和B的长度必须为3。