2.1.3 进制转换

在计算机内部，所有信息都采用二进制编码。但在计算机外部，为了书写和阅读的方便，大都采用八进制、十进制、十六进制表示形式，同时还有许多其他的进制，例如三进制（例如军队中一个排有三个班、一个连有三个排等）、六十进制（例如一分钟有60秒、一小时有60分钟）等，因此，必须实现这些进制之间的相互转换。

1.R进制数转换成十进制数

任何一个R进制数转换成十进制数时，如前所述，只需要“按权展开”即可。例如，十六进制数转换为十进制数：

(F8C. B)₁₆=F×162+8×16+C×160+B×16-1

=15×162+8×16+12×160+10×16-1

=3980.6875

二进制数转换为十进制数：

(110.01)₂=1×22+1×2+0×20+0×2-1+1×2-2

=6.25

2.十进制数转换成R进制数

在将十进制数转换成R进制数时，需要分别考虑整数和小数部分。

（1）整数部分

对于整数部分，采用的是除基取余法，即用目标数制的基数R去除十进制数，第一次相除所得余数为目的数的最低位，将所得商再除以基数R，反复执行上述过程，直到商为0，所得余数为目的数的最高位。

例：将十进制整数135分别转换成八进制数和七进制数。转换成八进制数的过程如下：

转换成七进制数的过程如下：

所以有：（135）₁₀=（207）₈=（252）₇。

（2）小数部分

对于小数部分，采用“乘基取整”的方式，即将小数部分与基数R相乘，乘积的整数部分即为小数点后面第一个数位的值，乘积的小数部分继续与基数R相乘。以此类推，直到某一步乘积的小数部分为0或者数位已经到了指定的值。

例：将十进制小数0.6875转换成二进制小数。转换过程如下：

所以有（0.6875）₁₀=（0.1011）₂。

例：将十进制小数0.73转换成三进制小数，小数点后面保留4位值。转换过程如下：

所以有（0.73）₁₀≈（0.2021）₃。

对于一个在表示范围内的整数而言，其在各个进制之间可以相互精确转换，因为在表示范围内的整数不管是哪种进制，都有唯一的表示。当范围扩展到实数域的时候，由于每个整数之间有无穷多个有理数，而每种进制下特定位数能精确表示的小数范围不一样，因此就会造成如上的精度损失问题。

3.二进制、八进制、十六进制数的相互转换

（1）八进制数转换成二进制数

八进制数转换成二进制数的方法很简单，只需要把每一个八进制数字改写成等值的3位二进制数即可，且保持高低位的次序不变。

八进制数字与二进制数字的对应关系如下：

（0）₈=（000）₂ （1）₈=（001）₂ （2）₈=（010）₂ （3）₈=（011）₂

（4）₈=（100）₂ （5）₈=（101）₂（ 6）₈=（110）₂ （7）₈=（111）₂

例：将（1435.132）₈转换成二进制数。

直接替换即可，有（1435.132）₈=（001100011101.001011010）₂。

（2）十六进制数转换成二进制数

十六进制数转换成二进制数的方法，与八进制数转换成二进制数的方法类似，即将每一个十六进制数字改写成等值的4位二进制数，且保持高低位的次序不变。

十六进制数字与二进制数字的对应关系如下：

（0）₁₆=（0000）₂ （1）₁₆=（0001）₂ （2）₁₆=（0010）₂ （3）₁₆=（0011）₂

（4）₁₆=（0100）₂ （5）₁₆=（0101）₂ （6）₁₆=（0110）₂ （7）₁₆=（0111）₂

（8）₁₆=（1000）₂ （9）₁₆=（1001）₂ （A）₁₆=（1010）₂ （B）₁₆=（1011）₂

（C）₁₆=（1100）₂ （D）₁₆=（1101）₂ （E）₁₆=（1110）₂ （F）₁₆=（1111）₂

例：将（3A. B）₁₆转换成二进制数。

直接替换即可，有（3A. B）₁₆=（00111010.1011）₂。

（3）二进制数转换成八进制数

二进制数转换成八进制数时，整数部分从低位向高位方向每3位用一个等值的八进制数替换，最后不足3位时在高位补0凑满3位；小数部分从高位向低位方向每3位用一个等值八进制数来替换，最后不足3位时在低位补0凑满3位。

例如：

（0.10101）₂=（000.101010）₂=（0.52）₈

（10011.01）₂=（010011.010）₂=（23.2）₈

（4）二进制数转换成十六进制数

二进制数转换成十六进制数时，整数部分从低位向高位方向每4位用一个等值的十六进制数替换，最后不足4位时在高位补0凑满4位；小数部分从高位向低位方向每4位用一个等值十六进制数来替换，最后不足4位时在低位补0凑满4位。

例如：

（11001.11）₂=（00011001.1100）₂=（19.C）₁₆

从上面的描述可以看出，二进制数与八进制数、二进制数与十六进制数之间有很简单、直观的对应。八进制数与十六进制数虽然不能用计算机直接表示，但可以转换成二进制数，并且像十进制数一样简练，因此在平时开发和调试程序、查看机器代码时，都采用十六进制或八进制来显示，这样便于书写和阅读。