任务1 工业机器人位姿描述

一、任务导入

齐次变换具有较直观的几何意义，非常适合描述坐标系之间的变换关系。另外，齐次变换可以将旋转变换与平移变换用一个矩阵来表达，关系明确，表达简洁。所以常用于解决工业机器人运动学问题。下面先介绍有关齐次坐标和齐次变换的内容。

二、点的位置描述

在选定的直角坐标系{A}中，空间任一点P的位置可用3×1的位置矢量AP表示，其左上标代表选定的参考坐标系。如图3-1所示。

三、点的齐次坐标

如果用四个数组成4×1列阵表示三维空间直角坐标系{A}中点P，则该列阵称为三维空间点P的齐次坐标，如下：

必须注意，齐次坐标的表示不是唯一的。将其各元素同乘一个非零因子ω后，仍然代表同一点P，即

其中：，，。

四、坐标轴方向的描述

用i、j、k分别表示直角坐标系中X、Y、Z坐标轴的单位向量，用齐次坐标来描述X、Y、Z轴的方向，则有

　　，，

从上可知，规定：

4×1列阵中第四个元素为零，且a2+b2+c2=1，则表示某轴（某矢量）的方向。

4×1列阵中第四个元素不为零，则表示空间某点的位置。

五、动坐标系位姿的描述

在机器人坐标系中，运动时相对于连杆不动的坐标系称为静坐标系，简称静系；跟随连杆运动的坐标系称为动坐标系，简称为动系。动系位置与姿态的描述称为动系的位姿表示，是对动系原点位置及各坐标轴方向的描述，现以下述实例说明之。

1.连杆的位姿表示

机器人的每一个连杆均可视为一个刚体，若给定了刚体上某一点的位置和该刚体在空间的姿态，则这个刚体在空间上是唯一确定的，可用唯一一个位姿矩阵进行描述。

设有一个机器人的连杆，若给定了连杆PQ上某点的位置和该连杆在空间的姿态，则称该连杆在空间是完全确定的。

如图3-2所示，O＇为连杆上任一点，O＇X＇Y＇Z＇为与连杆固接的一个动坐标系，即为动系。连杆PQ在固定坐标系OXYZ中的位置可用一齐次坐标表示为

连杆的姿态可由动系的坐标轴方向来表示。令n、o、a分别为X＇、Y＇、Z＇坐标轴的单位矢量，各单位方向矢量在静系上的分量为动系各坐标轴的方向余弦，以齐次坐标形式分别表示为

由此可知，连杆的位姿可用下述齐次矩阵表示：

例3-1 图3-3中表示固连于连杆的坐标系{B}位于OB点，XB=2，YB=1，ZB=0。在XOY平面内，坐标系{B}相对固定坐标系{A}有一个30°的偏转，试写出表示连杆位姿的坐标系{B}的4×4矩阵表达式。

解 XB的方向列阵

YB的方向列阵

ZB的方向列阵

坐标系{B}的位置阵列

则动坐标系{B}的4 × 4矩阵表达式为

2.手部的位姿表示

机器人手部的位置和姿态也可以用固连于手部的坐标系{B}的位姿来表示，如图3-4所示。坐标系{B}可以这样来确定：取手部的中心点为原点OB；关节轴为ZB轴，ZB轴的单位方向矢量a称为接近矢量，指向朝外；两手指的连线为YB轴，YB轴的单位方向矢量o称为姿态矢量，指向可任意选定；XB轴与YB轴及ZB轴垂直，XB轴的单位方向矢量n称为法向矢量，且n=o×a，指向符合右手法则。

手部的位置矢量为固定参考系原点指向手部坐标系{B}原点的矢量P，手部的方向矢量为n、o、a。于是手部的位姿可用4×4矩阵表示为

例3-2 图3-5表示手部抓握物体Q，物体是边长为2个单位的正立方体，写出表达该手部位姿的矩阵表达式。

解 因为物体Q形心与手部坐标系O＇X＇Y＇Z＇的坐标原点O＇相重合，则手部位置的4×1列阵为

手部坐标系X＇轴的方向可用单位矢量n来表示：

n：α=90°，β=180°，γ=90°

nX=cosα=0，nY=cosβ=-1，nZ=cosγ=0

同理，手部坐标系Y＇轴与Z＇轴的方向可分别用单位矢量o和a来表示：

o：oX=-1，oY=0，oZ=0

a：aX=0，aY=0，aZ=-1

手部位姿可用矩阵表示为

3.目标物位姿的描述

如图3-6所示，楔块Q在图3-6（a）所示位置，其位置和姿态可用8个点描述，矩阵表达式为

若让楔块绕Z轴旋转–90°，用Rot（Z，–90°）表示，再沿X轴方向平移4，用Trans（4,0,0）表示，则楔块成为图3-6（b）所示的情况。此时楔块用新的8个点来描述它的位置和姿态，其矩阵表达式为

六、齐次变换和运算

受机械结构和运动副的限制，工业机器人中被视为刚体的连杆的运动一般包括平移运动、旋转运动和平移加旋转运动。把每次简单的运动用一个变换矩阵来表示，那么，多次运动即可用多个变换矩阵的积来表示，表示这个积的矩阵称为齐次变换矩阵。这样，用连杆的初始位姿矩阵乘以齐次变换矩阵，即可得到经过多次变换后该连杆的最终位姿矩阵。通过多个连杆位姿的传递，可以得到机器人末端执行器的位姿，即进行机器人正运动学的讨论。

1.平移的齐次变换

如图3-7所示为空间某一点在直角坐标系中的平移，由A（x,y,z）平移至A'（x,y',z'），即

或写成

记为：a'=Trans（Δx,Δy,Δz）a

其中，Trans（Δx,Δy,Δz）称为平移算子，Δx、Δy、Δz分别表示沿X、Y、Z轴的移动量。即：

注：

①算子左乘:表示点的平移是相对固定坐标系进行的坐标变换。

②算子右乘:表示点的平移是相对动坐标系进行的坐标变换。

③该公式亦适用于坐标系的平移变换、物体的平移变换，如机器人手部的平移变换。

2.旋转的齐次变换

点在空间直角坐标系中的旋转如图3-8所示。A（x,y,z）绕Z轴旋转θ角后至A' （x',y',z'），A与A'之间的关系为：

推导如下：

因A点是绕Z轴旋转的，所以把A与A'投影到XOY平面内，设OA=r，则

同时有

其中，=，即

所以

即

由于Z坐标不变，因此有

写成矩阵形式为：

记为：a'=Rot（z,θ）·a

其中，绕Z轴旋转算子左乘是相对于固定坐标系，即：

同理，

图3-9所示为点A绕任意过原点的单位矢量k旋转θ角的情况。kx、ky、kz分别为k矢量在固定参考坐标轴X、Y、Z上的三个分量，且。可以证明，其旋转齐次变换矩阵为：

注：①该式为一般旋转齐次变换通式，概括了绕X、Y、Z轴进行旋转变换的情况。反之，当给出某个旋转齐次变换矩阵，则可求得k及转角θ。

②变换算子公式不仅适用于点的旋转，也适用于矢量、坐标系、物体的旋转。

③左乘是相对固定坐标系的变换；右乘是相对动坐标系的变换。

例3-3 已知坐标系中点U的位置矢量U=[7321]T，将此点绕Z轴旋转90°，再绕Y轴旋转90°，如图3-10所示，求旋转变换后所得的点W。

解 W=Rot（Y,90°）Rot（Z,90°）U=

3.工业机器人的连杆参数和齐次变换矩阵

（1）连杆参数及连杆坐标系的建立 以机器人手臂的某一连杆为例。如图3-11所示，连杆n两端有关节n和n+1。描述该连杆可以通过两个几何参数:连杆长度和扭角。由于连杆两端的关节分别有其各自的关节轴线，通常情况下这两条轴线是空间异面直线，那么这两条异面直线的公垂线段的长αn即为连杆长度，这两条异面直线间的夹角αn即为连杆扭角。

如图3-11所示，相邻杆件n与n-1的关系参数可由连杆转角和连杆距离描述。沿关节n轴线两个公垂线间的距离dn即为连杆距离；垂直于关节n轴线的平面内两个公垂线的夹角θn即为连杆转角。

这样，每个连杆可以由四个参数来描述，其中两个是连杆尺寸，两个表示连杆与相邻连杆的连接关系。当连杆n旋转时，θn随之改变，为关节变量，其他三个参数不变；当连杆进行平移运动时，dn随之改变，为关节变量，其他三个参数不变。确定连杆的运动类型，同时根据关节变量即可设计关节运动副，从而进行整个机器人的结构设计。已知各个关节变量的值，便可从基座固定坐标系通过连杆坐标系的传递，推导出手部坐标系的位姿形态。

建立连杆坐标系的规则如下：

①连杆n坐标系的坐标原点位于n+1关节轴线上，是关节n+1的关节轴线与n和n+1关节轴线公垂线的交点。

②Z轴与n+1关节轴线重合。

③X轴与公垂线重合，从n指向n+1关节。

④Y轴按右手螺旋法则确定。

连杆参数与坐标系的建立如表3-1所示。

（2）连杆坐标系之间的变换矩阵 建立了各连杆坐标系后，n-1系与n系之间的变换关系可以用坐标系的平移、旋转来实现。从n-1系到n系的变换步骤如下：

令n-1系绕Zn-1轴旋转θn角，使Xn-1与Xn平行，算子为Rot（z,θn）。

沿Zn-1轴平移dn，使Xn-1与Xn重合，算子为Trans（0,0,dn）。

沿Xn轴平移an，使两个坐标系原点重合，算子为Trans（an,0,0）。

绕Xn轴旋转角，使得n-1系与n系重合，算子为Rot（x,）。

该变换过程用一个总的变换矩阵An来综合表示。上述四次变换时应注意到坐标系在每次旋转或平移后发生了变动，后一次变换都是相对于动系进行的，因此在运算中变换算子应该右乘。于是连杆n的齐次变换矩阵为：

实际上，很多机器人在设计时，常常使某些连杆参数取特殊值，如使=0°或90°，也有使dn=0或an=0，从而可以简化变换矩阵An的计算，同时也可简化控制。