3.1．用无和集与全和集的思想完成证明互异型哥德巴赫猜想

令可表偶数A=p+q, p和q为互异的全体奇素数，可证明A必囊括全部奇素因子及2素数因子（A≥8）。

证明：假如A中不含奇素因子r，其中r＜p，当且仅当k≠1, gcd（r, p）=1，则2nr都不是可表偶数，方程2nr=p+kq必三项互素。根据互异互素的关系，p可以囊括所有奇素数，kq 须累积解集同所有的p 互异互素，kq与q通常在方程中满足同组解互素不同组解可同素，但k≠1, kq 与q 会累积解集互异，那么会因累积解集互异而须累积解集互素，kq与q仅k=1时，kq与q非互异时才有同素的可能，一旦互异，不许q=p，也不许k=p，因乘法满足交换律，那么kq只能每次与所有的q互素，故累积解集非互素也就不可能了。加上也要同2nr互素，即三元方程不仅每次三元互素，还须解集始终三元互素，否则r会被p包含，而p是包含所有奇素数的，因此无奇素数可累积互素构造kq，可见非可表偶数2nr不存在，于是反证了可表偶数A必囊括全部奇素因子及2素数因子。（证毕）

与可表偶数A互异的叫例外偶数B，全体例外偶数B与全体可表偶数A约掉一个共因子2一定是所有素因子互素的，即A=2m, B=2h，则（m, h）=1。

证明：全体例外偶数与全体可表偶数一定是奇素因子互素的，因为相邻偶数是所有素因子互素的（根据三元方程中两元互素必三元互素而得到该引理，现已知2n与2m是一对相邻偶数，2n+2=2m，即n+1=m,1与n互素，n与m必有一奇数，故n与m必奇素数互素，否则约掉共因子会产生整数等于分数，矛盾）。不难理解，要产生新的例外偶数2h，要么是例外偶数2h的后继偶数，要么是可表偶数2m的后继偶数，第一个产生的例外偶数都要与所有的可表偶数互异，因此例外偶数2h一定是累积同所有可表偶数2m的奇素因子互素的，必须要有第一个例外偶数，才会有例外偶数的后继例外偶数。由于第一个例外偶数须同奇素数全集互素2h，因可表偶数2m中的m含所有素因子，故第一个例外偶数2h会与全体可表偶数的所有素因子互素而不存在，即h还同m中的2因子互素，故h也不会是2幂数，于是例外偶数的后继例外偶数也就不存在。如此全体例外偶数只能靠全体可表偶数后继相邻产生，别无他法，于是全体例外偶数若存在，那必有相邻的可表偶数，它们约掉一个2因子后必是互素的。这一点由相邻互素定理决定。（证毕）

例外偶数是空集。

证明：根据“全体例外偶数与全体可表偶数约掉一个共因子2一定是所有素因子互素的”，可证明全体例外偶数无奇素数因子可构造，因可表偶数含全集素因子。而大于6的2n也是互异型可表偶数，因相邻偶数只能共一个2因子，大于4的2n都不可能是例外偶数，仅一个2因子的数也不可能是形如2n的大于8的后继例外偶数，加上例外偶数没有奇素因子，故一个例外偶数都没有。原来所有例外偶数是子虚乌有的兔角，根本不存在。而不小于8的全体偶数是可表偶数与例外偶数的并集，例外偶数是空集，由此可证明哥猜成立，可表偶数就是不小于8的全集偶数。（证毕）

这是证明哥猜最简洁的表达，不想了解思路只想快速明白哥猜证明的可直奔这一小节阅读，它不依赖于前文所完成的引理证明。

以下用其他方法证明哥猜，须依赖前文所完成的引理证明。即可表偶数A为素数一次二项式，那通过二元运算所得到的(A·A)则为可表偶数或例外偶数，为素数一次偶数项式或素数多因式。可表偶数的二元乘法运算与大于6的全体偶数等价。因为都可以用素数一次偶数项式或素数多因式，表达不小于8的全体偶数。也就是说，可表偶数的二元运算封闭，哥猜就获证。

先证明2p为互异型可表偶数，p囊括了所有奇素数。

证明：根据伯特兰-切比雪夫定理和算术基本定理，可得到左右同构等价方程2n=p0+kq=2mc,2m是可表偶数，当且仅当有理数c≠1，有理数k≠1，整数m＞3时，2mc是例外偶数。据此就可推理出，2p就一定为可表偶数，因为根据定义只有超过2个素因子数且c不能为1时才成为例外偶数。故c蕴含1也可表达该偶数时，存在关于2p的可表偶数定理：所有奇素数p的2倍数必能被两不同奇素数分割，否则素数多项式也表达不了它，素数多项式就不能囊括所有偶数，于是矛盾。

也就是说2p不具有例外偶数的基本要求，例外偶数是可表偶数基础上的仅非1数乘，可表偶数乘1时的各素因子须同所有素数的数值互异，根据例外偶数的定义，它要么在可表偶数的基础上改变了素数个数，要么在可表偶数的基础上改变了素数数值。若是前者，2mc作为例外偶数，m至少含大于3的单素数p，那它2mc至少应具备3个或3个以上的素因子，即例外偶数的素因子须与可表偶数的素因子个数互异，2p不满足于该条件，属于非例外偶数。若是后者，我们来考察奇素数2倍作为例外偶数是否存在，2p＇=r+kq三项互素。根据互异互素的关系，按例外偶数定义，k≠1, kq与q 会累积解集互异，那么kq会因累积解集互异而须累积解集互素，r、q可以为任意奇素数，kq要求始终与r、q互素，故kq没有素因子可构造出它，故奇素数2倍的例外偶数不存在。因此2p必是可表偶数。于是2p为互异型可表偶数的命题获证。（证毕）

判定所有奇素数q的两倍为一般可表偶数还有更简洁的证明。

仅证明2q为普通可表偶数就能简洁证明欧拉型哥猜成立。因为2q=q+q（q为素数），满足一般可表偶数的定义，即能用两个素数之和表示，说明一般可表偶数已含所有的奇素数因子，再加上2×4=3+5，可见一般可表偶数除以2后也蕴含偶素数因子。在此条件下，再使用自然数相邻互素定理就能很容易证明欧拉型哥猜成立。但互素型哥猜要想获证，还需要以下新的思路。

令2m（含2p亦含2w）为互异型可表偶数，互异型可表偶数就是能用两互异奇素数之和表达的偶数，2p＇为例外偶数，例外偶数就是不能用两互异奇素数之和表达的偶数，p、p＇为互异奇素数，它们的并集须囊括所有奇素数q。那么必有2p＇-2p=2t或2p＇+2p=2s, p＇与p因互异而互素，根据三元方程若两元互素必三元两两互素的性质，p与t必互素，p＇与t必互素，或者p与s必互素，p＇与s必互素。由于构造t或s的素因子始终要与p及p＇互素，其累积结果，导致要与所有的奇素数互素，如此t或s就没有奇素因子可构造，加上2p＇-2w=2t或2p＇+2w=2s, t与偶素数2也互素，故例外偶数2p＇不存在。因为所有奇素数q的2倍，定是互异型可表偶数2p以及互异型非可表偶数2p＇的并集，意味着t或s要始终与所有的奇素数及偶素数互素。因此2t或2s就不存在，故2p=2q, 2q必为互异型可表偶数。如此就证明了互异型可表偶数包含了2倍的所有奇素数q。这就是所有奇素数q的2倍为互异型可表偶数定理，如此互异型可表偶数当然也就蕴含了所有的奇素数因子。而一旦有了所有奇素数q的2倍为互异型可表偶数定理，再使用自然数相邻互素定理就能很容易证明互素型哥德巴赫猜想了。互素型哥猜获证比欧拉型哥猜获证意义更深远。

以上是两互异素数相加所产生的素因子封闭得证（重合法），加上以下两互异素数相加所产生的素因子互素得证（相邻论），即可完成哥猜证明。

若三元正整数方程a+b=c存在gcb（a, b）=1，则必定存在gcb（a, c）=1及gcb（b, c）=1。证明如下：

假如gcb（a, c）≠1，那么a与c约掉公因子k后，第一项和第三项还是整数，但第二项b约掉k后却成了真分数，如此移项合并后整数就等于分数了，矛盾，这就反证了gcb（a, c）=1正确，同理可证gcb（b, c）=1也正确。

以此为引理可轻易证明正整数相邻互素。已知n与m是相邻正整数，则有n+1=m，因为n与1互素，根据三元方程互素定理，则必有gcb（n, m）=1。

相邻论和重合法两者结合可证哥猜。由于可表偶数与例外偶数之间必有相邻关系，且所有偶数2n=可表偶数2m∪例外偶数2m＇，即2m+2=2m＇，约掉2因子，可知m与m＇是相邻正整数，故m与m＇是互素关系，根据已证m含所有素因子，因为m＇与m累积互素，没有素因子可相邻构造例外偶数，也就不能后继构造所有的例外偶数，故例外偶数2m＇是空集，于是可表偶数2m与所有偶数2n等价，即所有偶数2n同可表偶数2m一样都能用两互异奇素数之和表达。哥猜获证。

还可以证明4p也为互异型可表偶数，继而2np、2n、2npq也为互异型可表偶数，最后证明在2np基础上添加任何奇素因子也仍是可表偶数。

证明：根据伯特兰-切比雪夫定理和算术基本定理，可得到左右同构等价方程4n=p1+kq=4mc，由于4n是2n的子集，4mc是2mc的子集，c为1时，2m是可表偶数，4m当然也是可表偶数。当且仅当c≠1, k≠1时，4mc是例外偶数，而4p（p为所有奇素数）就一定为可表偶数，否则会因超过2个偶素数或1个奇素因子数导致c不为1而成为例外偶数。故c蕴含1时，存在关于4p的可表偶数定理：所有奇素数p的4倍数必能被两不同奇素数分割。

4mc作为例外偶数必与可表偶数的素因子个数互异，它至少应具备4个或4个以上的素因子，4p不满足于该条件，属于非例外偶数。于是4p为互异型可表偶数的命题获证。可表偶数的素因子个数可依次加1得到任意自然数n。

同理可证2np也定为互异型可表偶数，当p等于2, n大于1时，2的幂数2n亦为可表偶数。另外，2npmc作为例外偶数，它至少应具备n+3个或n+3个以上的素因子，2npq不满足于该条件，故2npq也为互异型可表偶数。乃至在2p的基础上添加k个素因子，都可得到所有可表偶数，因为例外偶数的素因子个数要同可表偶数的素因子个数k+2互异，可见二元乘法运算在可表偶数上封闭。（证毕）

若4m为可表偶数，则2m定为可表偶数。

证明：已知4m为可表偶数，假如2m为例外偶数，则2m中必有一个与4m相邻，而作为相邻偶数，2m与4m必奇素数互素，矛盾，故假设2m为例外偶数不真，2m只能是可表偶数。

以上说明可表偶数A在二元乘法运算上封闭，不存在乘法不保值的结果，只存在乘法不扩域的归宿。根据可表偶数A（含2p）在二元乘法运算上封闭，加上算术基本定理就可证明不小于8的2n都是互异型可表偶数。因可表偶数2p作为生成元在二元乘法运算上与算术基本定理在表达全集偶数上等价，补上可表偶数二元乘法运算后再除以2n所产生的新偶数，这些新偶数也都是可表偶数。可表偶数的一半若仍是偶数，则一定是可表偶数（上文已证）。根据前文2.0至2.5章节所证明的引理以及本章节所证明的引理，二元乘法运算(A·A)在可表偶数A上封闭，加上补上的新偶数也是可表偶数，说明用算术基本定理表达全集偶数也在可表偶数A上封闭。

我们知道：

(A+A)∩A=Ø，则A的二元运算为无和集，也叫加法无交集，无和集就是在A上加法二元运算全都生成了新元素；

(A+A)∩A=A，则A的二元运算为全和集，也叫无补集，全和集就是加法二元运算全都生成了旧元素。

(A·A)∩A=Ø，则A的二元乘法运算扩域不保值，即在A上乘法二元运算全都生成了新元素；(A·A)∪A=A，则A的二元乘法运算保值不扩域，即乘法二元运算全都生成了旧元素。

无和集、无交集意味着，所有新增的未来都不是原历史，且历史也是总未来。历史与未来是同态单射关系，未来是蕴含历史的，历史仅跟局部未来同构，历史总是被未来超越。

全和集、无补集意味着，所有的未来都是历史的局部，但历史不仅是未来。历史与未来是同态满射关系，历史是蕴含未来的，未来仅跟局部历史同构，未来因必须选择而产生分支并遗漏分支。

这个思想很重要，即前者物外无心，后者心外无物，就是不能用时间描述的空间是不存在的，这样空间就变成了时间的一个子集或真子集，这完全是反直觉的认知，但往往意义重大。

假如A为可表偶数，也能素数多项式可表，存在(A+A)为可表偶数的后继偶数或后继偶数的后继偶数，且不能两素数可表，那么就存在(A+A)∩A≠A，则(A+A)∩A=Ø, (A+A)叫作无和集，也叫无交集，不生成旧元素。那么存在(A+A+A+…)∩A=Ø也成立。这意味着素数多项式与素数二项式不能相互蕴含。

假如A为可表偶数，也能素数多项式可表，存在(A+A)为可表偶数的后继偶数或后继偶数的后继偶数，且仍能两素数可表，那么存在(A+A)∪A≠(A+A)，则(A+A)∪A=A，叫作全和集，也叫加法无补集，不生成新元素。那么存在(A+A+A+…)∪A=A也成立。这意味着素数多项式与素数二项式能相互蕴含。以上换成乘法运算亦成立，乘法是加法的特例。

通过以上分析证明了在可表偶数上无和集以及扩域不保值的关系描述是假命题，从而反证了在可表偶数上全和集以及保值不扩域的关系描述是真命题。可见二元加法运算以及二元乘法运算在可表偶数上不符合无和集、无交集的思想，但符合全和集、无补集的思想。

于是我们可以证得，二元加（乘）法运算在可表偶数定义域上封闭（不扩域不缩域）。而在互异型可表偶数上二元加（乘）法运算封闭，同算术基本定理描述全集偶数是等价的，因此互异型的可表偶数与不小于8的全集偶数也就等价。

因为可表偶数的二元加（乘）法运算封闭，于是可迭代获得2n元加（乘）法运算也封闭。而素数2n元多项式是可表示大于等于8的所有偶数的，也就是说可表偶数同大于等于8的所有偶数等价。互素版哥猜也就获得了证明。

p1+p2=2n（n为大于3的所有自然数，p1、p2为互异的所有奇素数）获证！

再提醒下，两素数是互异的，在本原解方程中，互异必互素，在这里互异型与互素型是同一个意思，它比欧拉版的哥猜严格多了。互异版的哥猜获证，欧拉版的哥猜即获证，补上3+3=6即可，而欧拉版哥猜即便获证，也不能证明互异版哥猜成立。