1.2．素数的定义：1的所有后继数仅被1等量分拆的叫素数

以下我们开始详细证明。

素数之谜扑朔迷离，千百年来不得其解，问题出在始终没有准确定义素数。教科书都是这样定义素数的：仅被1和自身整除的自然数叫素数。不难看出，“自身”这个词在这里是指代素数的，像这样用素数描述素数的循环定义，会误导思路，是解决不了素数最后问题的。刀不能砍刀背，从循环定义出发，解析数论用筛法就无法避免会遭遇奇偶性问题，因为筛法无法将素数和那些正好有两个素因子的数完全分开。正如大刻度的尺子度量不了小刻度的对象。

举个例子，三角形就是用三角形的三条边围成的图形，这叫循环定义。正确的定义是，三角形是由同一平面内不在同一直线上的三条线段“首尾”顺次连接所组成的封闭图形。定义概念的内涵不许出现概念自身或概念替代词。

能够推动解决素数问题前进一步的定义是：仅被1等量分拆的正整数叫素数，偶素数只有一个2，其余都是奇素数。如果一定要用戴德金（Dedekind）的倒金字塔定义概念的话，即内涵概念要小于外延概念，上句还可改为“1的所有后继数仅被1等量分拆的叫素数”。

素数还包括两个特殊的素数，一个是偶素数2，一个是初素数1,1是特殊的素数，正如整数是特殊的分数一样。1用原来的定义无法从其他素数中区分出来，1仅被1和自身整除，完全符合教科书上的定义。但在本书素数定义的正整数范围里，1属于连1也不能等量分拆的数，这样1就同一般素数区分开了；至于1可与自身等量分拆，则是一种特殊的分拆。初素数1是孤独数，孤独数是特殊的素数。初素数之所以不做素数讨论，是因为刀不能砍自己的刀背，在计算素数的个数时，若算上初素数1，素数的个数将变得无法计量；但素数是同类对象的扩域，1如果不是素数就说不通，扩域后的1是蕴含素数性质的，但不同于一般素数。任意模数任意余数的同余不定方程组，可等价变换为若干个模数皆与0同余的不定方程组，模数小于给定数。仅模1与0同余的所有1的后继数叫素数，此思想是解决素数问题的方向。这就是中国剩余定理的核心思想。

（中国剩余定理CRT）注1设m 1, m 2, …, mk是两两互素的正整数，即：

注1：中国剩余定理CRT，设m1, m2, …, mk是两两互素的正整数，即：

gcd（mi, mj）=1, i≠j, j=1,2, …, k

则同余方程组：

x≡b1（modm1）x≡b2（modm2）…x≡bk（modmk）模[m1, m2, …, mk]有唯一解，

即在[m1, m2, …, mk]的意义下，存在唯一的x，满足：

x≡bi mod[m1, m 2, …, mk], i=1,2, …, k。

gcd（mi, mj）=1, i≠j, i, j=1,2, …, k

则同余方程组：

x≡b1（modm1）

x≡b2（modm2）

…

x≡bk（modmk）

模[m1, m2, …, mk]有唯一解，即在[m1, m2, …, mk]的意义下，存在唯一的x，满足：[m1, m2, …, mk], i=1,2, …, k。

从中国剩余定理可知，任何素数都可以表示成仅模数为1与0同余的等价表达。素数不仅是乘法模数问题，也是加法余数问题。1的所有后继数仅能被1等量分拆的叫素数。这样的素数定义，以中国剩余定理表达得最为精准。狭义的可等量分拆，意味着用1或非1的模数表达，都可与0同余；狭义的不可等量分拆，即为素数，就是说若用非1的模数表达，都不能与0同余，这是素数的生成秘密。

p≡0mod[1, p1, p2, …, pi], i=1,2, …, k（pi为素数，k为正整数，仅模1成立）

ab≡1mod[1, m1, m2, …, mi], i=1,2, …, k（mi为素数，k为正整数，模数定有1个以上），a是b模mi与1同余的数论倒数，它是剩余定理求解方程的重要环节，其重要思想体现了无论素数合数皆与1同余，不共性是素数除非模1，否则不会与1同余，而合数除1外定存在与1同余。认识到这一点，对证明哥猜意义重大，它体现了相邻无漏的思想。

于是就有，所有的多维空间数（合数）都实存在于加性连接的一维空间上，不小于8的自然数（奇素数与合数的并集）都是一维空间数（素数）的“拓扑拉伸”，因此所有的多维空间数都能在加性的一维空间上一一后继、一一映射或一一等值区分（完全重合），所有多维空间数都被加性的一维空间数所蕴含，高维的非线性空间实际上都是一维的线性空间。这就是重合法和相邻论的核心，结合在一起，是一组邻-类函数L（p）的素数连和连积恒等式，其公式是：

L（p）=alad∑p=arad∏p=n

p取遍所有的素数；

arad为rad的逆运算，即任意个不同素数任意幂次方的连积；

rad为自然数求互质数1次方素数连积；

alad为lad的逆运算，即素数任意连加项的连和；

lad为自然数求互质数1倍数的素数连和，与传统微积分数学的连和连积稍有不同，这里的连和连积项可任意重复组合，非级数组合；

alad∑、arad∏为自定义符号；

alad∑是指已知元素的任意项连加组合；

arad∏是指已知元素的任意次连积组合；

lad∑为素数不重复连加；

rad∏为素数无平方连积。

即[alad（p1+p2+p3+p4+p5+…+pm）]=[arad（p1 p2p3 p4 p5…pn）]，即奇素数的连积值域（任意组合素因子）与奇素数的连和值域（任意组合素余子）是完全重合的，其值域皆为不小于8的所有自然数。

lad为不等量余子运算，alad是其逆运算；

rad为无平方因子运算，arad是其逆运算。

所有的丢番图问题都是在寻找加减法与乘除法之间的关联，即都是在寻找次第与平等之间的关联。也就是数学家们常说的相邻和分类问题，计算和度量问题。群论和微积分学强调的是用元素及乘除运算法则所描述的模数世界，是解决分类问题和度量问题的，积性数论侧重于此，重合法推广了这一思想；矩阵和组合数学强调的是用序列和加减运算法则所描述的余数世界，是解决相邻问题和计算问题的，加性数论侧重于此，相邻论推广了这一思想。朗兰兹纲领强调数论次第性与群论对称性的结合，重视线性与非线性相互关联，其实更深层的关联紧密围绕在相邻性原理中，从相邻论出发，方可找到布控素数规律的上游核心部件。素数不仅是直觉部件，也是逻辑部件。

素数新定义带来的巨大突破是，素数不仅是乘法问题，更是加法问题。比分解更基本的分拆，意味着数学中所有的未知数既是乘法问题也定是加法问题。加减法以次第法则为准绳，乘除法以平等法则为准绳。以上数学描述，我们称之为素数连和连积邻-类函数恒等式，即连和的邻函数与连积的类函数有共同重合的目标对象n，这是重合法，用来列方程；连和的邻函数与连积的类函数有次第相邻的生成元数1，这是相邻论，用来解方程。任何数学问题都可以归口到相应的公理直觉，任何数学问题也都可以发现相应的算法逻辑。

L（p）=alad∑p=arad∏p=n

互素的素余子与互素的素因子都能分别用加法和乘法进行线性映射构造，都能得到所有自然数，这是重合法；相同对象用加法和乘法两类不同算法线性映射还原得到基底，这是相邻论。

lad是求解互素的素余子运算，alad是其还原逆运算；

rad是求解互素的素因子运算，arad是其还原逆运算。

邻函数和类函数体现了数学世界从简单到复杂的觉醒相邻关联以及从复杂到简单的传承相邻关联，不同对象不同法则之间存在可比较的等量参照，等量世界皆来自非等量世界，此所谓有生于无。从无到有，是从强势到弱势的传承；从有到无，是弱势到强势的觉醒。复杂序列只有落实到自然数中，才有等量产生，才有公共的至简，才可实现传承和交流。用数学逻辑语言表达就是，局部来自整体，整体包含对局部的不同等量。这是证明哥德巴赫猜想成立幕后的公理背景。世界的本原是用至简的1都不能等分的（非皮亚诺公理体系），世界的表象是用至简的1定可等分的（皮亚诺公理体系）。后者由前者派生推出。

在此可顺带定义可表偶数2m和例外偶数2m´。由所有互异奇素数两两相加所构成的偶数叫可表偶数。强调一点，是互异，如果14仅分割成7+7，那不是本文定义的可表偶数，一定可互异表达，如14=3+11,3与11是互异的。当且仅当不能用互异奇素数两两相加所构成的偶数叫例外偶数。

p+q=2m（m∈自然数n，且≥4, p, q为互异的奇素数）；

p+aq=2m´（m´∈自然数n，且≥4, p, q为互异的奇素数，当且仅当正整数a≠1）。

2m∪2m´=2n（n, m, m´≥4）。

以上厘清了定义，接下来的1.3到1.6章节讲数学工具。我们进行朴素的思考，代数问题的本质就是列方程、解方程两大任务。

列方程就是找等量关系，我们来构建一种叫重合法的数学工具：

可理解为等量之均分，数据之中央，见1.3。

解方程就是找序列关系，我们来构建一种叫相邻论的数学工具：

可理解为阴阳之割裂，算法之根源，见1.4；

那么通过1.3我们找到邻函数恒等式，见1.5；

通过1.4我们找到了邻函数最优化，见1.6。